本文遵循“影响因素识别-模型构建-结果对比分析”技术路线，首先采用皮尔逊相关系数法对包括宏观经济、能源价格、人民币汇率、前一交易日碳价在内的4类要素，6个变量和碳价进行相关性分析，提取出对碳价影响较大的2个变量，即前一交易日碳价、WTI（West Texas Intermediate）原油价格；然后，分别构建基于ARIMA模型、LSTM模型和多项式回归算法的碳价预测模型，计算得到模型的预测精度和相对误差；最后，对比分析三种模型的预测精度，选定最适宜预测模型。总体技术路线见图1。

皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient，PCC）作为一种衡量变量间关联度的方法，常用于回归分析模型的输入变量选取^[13]。运用该方法识别碳价的关键影响因素的核心计算，见式（1）：

式中：r为碳价与影响因素的相关系数；Y为碳价；X为初始选定的碳价影响因素；N为X、Y所包含的数据个数。

运用PCC法得到的相关系数r的取值范围为[−1,1]。其中，r的绝对值可以表示变量间的相关性强弱程度。另外，r取值为正，代表两个变量之间的关系为正相关；相反，r取值为负，意味着两个变量之间的关系为负相关^[14]。不同的相关系数r对应的相关程度，见表1。

时间序列法是在分析预测对象的历史变化规律的基础上，对其未来变化趋势进行预测的方法。由于不需要考虑影响因素，模型建立过程简单；在变量波动有限、变化平稳的前提条件下，模型预测精度较高^[15]。受制于全国碳市场外部因素的影响，碳价常呈现出非平稳特征，对于非平稳的数据序列，常用差分自回归移动平均模型（ARIMA)，通过差分变换将非平稳的碳价序列转为平稳序列，进而对碳价进行预测，见式（2）：

式中：$ \varphi (K) $为自回归算子；$ {(1 - K)^d} $为差分算子，d为差分阶数；$ {x_t} $为碳价时间序列；$ \theta (K) $为移动平均算子；$ {\varepsilon _t} $为残差序列。

多项式回归算法(Polynomial Regression)属于有监督的传统回归学习算法，在碳价预测中，以碳价为因变量，碳价影响因素为自变量，运用数据集训练得到二者之间的相关关系，进而完成碳价预测。

常用的多项式模型一般不超过四阶，目前最常用的多项式回归模型是二阶多项式模型，见式（3）：

式中：x_i为n维自变量；β₀，β_i，β_ii，和β_ij为回归系数。二阶多项式回归模型中共有(n+1)(n+2)/2个函数项。

将多项式回归方程转化为多元线性回归方程，完成多项式回归系数的求解^[16]。以一个包含两个变量的二阶多项式为例，其求解步骤见式（4～5）：

令$ {x}_{1}={z}_{1}，{x}_{2}={z}_{2}，{x}_{3}={z}_{1}{}^{2},{x}_{4}={z}_{2}{}^{2},{x}_{5}={z}_{1}{z}_{2} $，将上式转化为多元线性回归：

利用最小二乘法，即可求得多项式回归系数a₀，a₁，a₂，a₃，a₄和a₅。

LSTM模型主要由记忆单元（Cell）、输入门(Input Gate)、输出门（Output Gate）和遗忘门（Forget Gate）等逻辑单元组成^[17]。其中，输入门和输出门主要用来接收、输出和修正参数，分别记为l，ω。遗忘门表示是否保留当前隐藏层节点存储的历史信息^[18]，记为φ。记忆单元表示神经元状态的记忆，记为S_c^t。3个门以及独立的记忆单元设计，使得LSTM单元具备保存，读取、重置和更新长距离历史信息的能力，其实现步骤如下：

（1）将t时刻数据代入到输入层，经过激励函数输出结果。LSTM输入门的输入由3部分组成，包括 t 时刻输入层神经元的输入向量 X _i^t，前一个隐藏层的输出门的输出向量 b_h^t−1和前一时刻记忆单元的保留信息 b_c^t−1。 W_i为输入信息与各个门结构或输入单元状态的权重矩阵。 t 时刻输入门的输入向量 a_l^t以及经过激励函数 f 得到的输出向量 b_l^t的计算公式见式（6～7）：

（2）将输入层的输出结果信息输入LSTM结构的节点中，并通过输入门、遗忘门和记忆单元的处理，输出数据到下一隐藏层或输出层。与输入门一样，遗忘门的输入 a_φ^t也由相同3部分组成， t 时刻的输出向量 b_φ^t的计算，见式（8～9）：

记忆单元a_c^t的输入由两部分组成，包括输入向量X_i^t和前一个隐含层的输出门的输出b_h^t-1，见式（10）：

记忆单元S_c^t依据遗忘门的判断决定是否保留过去的信息，见式（11）：

式中，g为激励函数。

（3）将LSTM结构节点的输出传递到输出门神经元，输出结果。将记忆单元的输出向量 S_c^t作为神经网络输出门的输入向量，并经过Sigmoid输出信息 o^t和激励函数 h ，得到最终结果 b_h^t，见式（12）：

（4）误差反向传播，更新各个权值。对于LSTM的反向传播过程，将误差记为 L ，见式（13）：

式中：δ_s^t表示t时刻j节点的误差信号；ε_c^t表示t时刻记忆单元输出的误差信号；ε_s^t表示t时刻记忆单元中的保持值误差信号。

通过对记忆单元输出误差信号、输出门误差信号、记忆单元误差信号、遗忘门误差信号、输入门误差信号的求解，对权值进行更新，权值更新公式见式（14～15）：

基于上述LSTM神经网络训练步骤，可以消除层数增加和计算梯度下降时出现的梯度消失和梯度爆炸问题，有助于提高智能模型的预测精度。

以模型的碳价预测结果作为输出参数，对比全国碳交易市场的实际碳价，选定精确度、相对误差和标准偏差作为主要指标，量化评估3个模型的预测性能，用于后续最适宜预测模型的确定，见式（16～18）：

式中：d为相对误差；p_实际为实际碳价；p_预测为碳价的预测值；A为模型的预测精度；S为标准偏差；N为样本交易日数量；P_i为交易日碳价；$ \overline P $为交易日碳价的平均值。

本文选取2021年7月16日至2022年6月2日的全国碳市场碳价数据作为研究对象，选定宏观经济、能源价格、人民币汇率和前一交易日碳价4类因素作为候选的碳价影响要素，预测全国碳交易市场的碳价变化趋势和波动规律。碳价的主要影响因素，见表2。全国碳市场碳价和上述影响因素的变化趋势，见图2~图4。

为了准确识别碳价的关键影响因素和确保后续模型构建的合理性，采用PCC法对前述提到的4类、合计6个影响要素进行相关性分析，见表3。

前一交易日碳价与碳价的相关程度最高，r值达到0.9733，为高度正相关，表明全国碳市场的碳价走势呈现出一定的延续性；WTI原油价格的相关程度为显著正相关，r值为0.622 8。相反，中证工业指数、沪深300和欧元汇率的相关程度为显著负相关，表明在近年来日益明显的股票经济与实体经济的相反关系的作用下，实体经济的下滑对碳价确实存在一定的抑制作用。至于液化天然气价格和美元汇率，相关性程度很低，可忽略不计。根据相关性分析结果，为保证模型拟合过程的稳定性和简易性，选定与碳价为正相关关系且r>0.5的影响因素。因此，将前一交易日碳价和WTI原油价格作为LSTM和多项式回归算法的输入变量，构建基于影响因素的碳价预测模型。

以全国碳市场的碳价为研究对象，选取2021年7月16日至2022年4月29日的碳价数据作为训练样本用于构建预测模型，2022年5月5日—2022年6月2日的碳价信息作为验证样本来考察ARIMA模型预测全国碳价的可靠性。ARIMA模型的预测精度，见表4。

表4可知，总体预测精度较高，逐日的预测精度都在96%以上，平均精确度高达97.84%。其中，2022年5月23日的预测精度最高，为99.25%；相反，2022年5月12日、16日和17日的预测精度普遍偏低，均低于97%。这是因为2022年5月的前10个交易日（即5月5日至5月20日）的实际碳价保持不变，背离了全年碳价先上升后下降的趋势。ARIMA模型是基于碳价的整体变化情况来进行预测，因此，该时段的碳价预测精度相对偏低。

二阶多项式模型的碳价预测结果，见表5。该模型选定前一交易日碳价和WTI原油价格作为输入变量，预测得到2022年5月5日至2022年6月2日的碳价。表5可知，多项式回归算法的整体表现良好，逐日的预测精度均超过96%，平均精度高于ARIMA模型，达到98.17%。其中，2022年5月5日的预测精度最高，高达99.49%；相反，2022年5月23日的预测精确度偏低，为96.57%。主要原因在于，不同于前几个交易日的原油价格逐渐上涨，该交易日的WTI原油价格几乎不变，导致模型的预测结果出现一定偏差。另外，相较于ARIMA模型在前10个交易日的较差表现，多项式回归模型的表现并未受到碳价不变的影响，这与其更多依赖于输入变量和碳价的响应关系的合理性有关。

与多项式回归算法相类似，LSTM模型同样选定前一交易日碳价和WTI原油价格作为输入变量，构建二者与碳价的响应关系，完成碳价预测。LSTM模型的碳价预测精度，见表6。相较于前述两个模型，LSTM模型的预测精度最高，逐日预测精度均超过了98%，平均预测精度高达99.26%。其中，2022年5月20日的预测精度最高，为99.69%；2022年5月23日的预测精度最低，为98.61%，与多项式回归模型的最差表现出现时间完全吻合。这也表明尽管二者的方法原理不同，但同样都是依赖于响应关系的合理性和输入变量的规律性变化。

汇总了ARIMA模型、多项式回归算法和LSTM模型的全国碳价预测结果，见表7。可知，3种模型都展现了良好的预测性能，平均预测精度均超过了97%。其中，LSTM模型的预测精确度最高，为99.32%，标准偏差最小，仅为0.263 0；多项式回归算法其次，预测精度为98.17%，标准偏差为0.513 2；ARIMA模型相对较差，预测精度和标准偏差分别为97.84%和0.518 4。这也表明在数据信息充足的前提条件下，深度学习算法具有更好的纠错能力，可以很好地捕捉到碳价的波动变化甚至静止不变的趋势。相反，当数据信息有限，特别是在影响因素的相关信息不够完备的条件下，ARIMA模型将有更好的发挥空间。针对不同的样本信息条件，选择适宜的预测模型完成碳价预测，可为企业合理参与碳市场和政府制定相应措施平抑碳价波动指明方向，进而保障全国碳市场的健康、平稳发展。

为了更好地展示3类模型的预测功能，在运用ARIMA模型计算得到待预测日的前一交易日碳价和WTI原油价格的基础上，分别运用前述构建的3个预测模型完成全国碳市场2022年11月的碳交易日价格预测，见表8。

表8可知，3个模型的11月碳价预测平均值分别为63.17、63.27和61.12元/t，相较于上半年的实际碳价平均值（58.28元/t）有所提升。这是因为，年底临近履约窗口期，控排企业的碳配额和碳排放量已经基本确定，企业可以根据自身情况进行多余碳配额的卖出和不足碳配额的买入，在碳市场表现活跃，导致碳价提高。此外，对比5月的预测结果，3个模型预测结果的标准偏差均有所下降，表明随着全国碳市场的日益规范化和管理机制的不断健全，碳价波动变小，碳价趋于稳定。

本文以全国碳市场的碳排放权交易价格为主要研究对象，在采用PCC法提取碳价关键影响要素的基础上，以应用广泛、理论成熟以及操作简便为选取依据，分别运用ARIMA时间序列、LSTM和多项式回归算法3类方法，构建了预测精度较高的碳价预测模型，显示了3类模型的可靠性和实用性。三种模型的对比结果显示，PCC-LSTM模型的预测精度最高，为99.26%，很好地显示了深度学习算法在数据充足条件下的优越性和实用性。相较于上半年的实际碳价，预测得到的全国碳市场11月平均碳价有所提高，变化幅度降低，可以归结为全国碳交易市场运行总体平稳有序和年底活跃度持续攀升。在后续研究过程中，采用数据预处理方法剔除样本数据异常值的干扰、结合与碳价负相关的影响因素到预测模型中、将碳价序列分解为多个子序列，以及运用GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedast）模型识别碳价的波动变化趋势，有助于进一步提升碳价预测模型的优越性和实用性，确保其发挥更大的作用。